[C-Sharp] Uma interface pode ter propriedades?

Não é recomendado colocar propriedades em um interface pois isto seria uma violação de sua designação primaria.
Uma vez que o papel dela é apenas o de tornar explicito assinaturas de métodos que deverão obrigatoriamente ser implementados nas classes que fizerem referencia a interface.

Mas o c# permite que você faça isso.

Fica a seu critério.

Minha sugestão, caso necessite de um ponto central para colocar propriedade que seja transmitida a varias outras classes, utilize uma classe Abstrata ou não e faça uma herança.