Cliente precisa do java instalado para acessar site java?

Matheus, boa pergunta, ainda não tinha parado para pensar no assunto, mas acho que sim.
Quanto a sistema de bancos, acredito que seja uma forma de autenticar o usuario, pelo menos isso com o da caixa para cadastrar computadores.

Pelo que eu entendo o java roda no servidor, então se for web não precisa ter java. no caso sistemas bancarios tambem acho correto afirmar o que a Janaina escreveu.

sim, algumas aplicações exigem o JRE instalado no cliente sim - e até atualizado.
no caso dos bancos normalmente é p/ rodar o teclado virtual.
outro exemplo é o PJ-e (processo judicial eletrônico).

Quando se instala o JRE, e ele de cara instala um plugin nos navegadores :)

mas depende da aplicação, claro.. um mural de recados simples, por exemplo, trabalha c/ requisições "get"
então não é obrigatório..
outro caso obrigatório é uma aplicação de "upload"; vc precisa ter o JRE instalado (e ativado no browser, claro)
para gerar a interface desse tipo de aplicação e faze-la "rodar" (selecionar o arquivo etc.).

Ahh entendi, depende então das funcionalidades do sistema.
Algo simples como login/cadastro não precisaria certo? pois tudo funciona com as requisições post.

Não sabia dessas especifidades.

Em princípio não, pois o processamento Java é feito todo no Servidor, para o usuário é apenas uma página HTML. Porém, se você precisar que ele execute algo mais específico que rode direto na JVM dele, como um Applet, então ele precisará do JRE.

Eu acredito que praticamente não exista um computador sem o Java, é raro.

Hoje em dia sim, mas ainda podem ocorrer casos que não tenham o JRE instalado ai você já saberá qual problema.

Verdade, mas considero isso o que de menos, se for em uma intranet.

Poderia haver um problema de incompatibilidade com a versão do java do cliente e com a versão do server?

Cliente e Servidor, vamos levar em consideração que uma aplicação rode tudo no servidor, então não exista algo que possa interferir, então eu acho que não interfere.

sim, no caso do PJe vc é obrigado a ter o JRE 7 instalado..
e alias não roda no IE, não roda em linux..
e não é certeza q rode no Crome..
garantido só no firefox, com "cookies" ativados E janelas pop up liberadas..


só lembrando: isso pode ser desativado no navegador..

Se a versão do Java do cliente for muito antiga pode trazer problemas sim, pelo uso de recursos que não existiam nas versões mais antigas. Mas como o próprio Java fica avisando sobre atualizações, isso quase nunca é um problema.

Pior que tem gente mal intencionada, que realmente pode desabilitar.