Como colocar em ordem alfabética (nome)?

Você pode ordenar a tabela e carregar no listview os itens já ordenados OU você pode pedir para o listview ordenar os itens.

No segundo caso, depois de carregar os itens, mude a propriedade TListView.SortType para stText que isso fará a ordenação pelo valor do Caption dos itens. Se você quiser usar um critério mais elaborado, use o método TListView.CustomSort.

procedure TForm_Contatos.TabSheet_contatosShow(Sender: TObject);
var
ListItem : TListItem;
begin

(*PONHA ISTO*)
dm_contatos.tab_telefones.INDEXFIELDNAMES:= ´nome´;

dm_contatos.tab_telefones.First;
while not dm_contatos.tab_telefones.EOF do
begin
ListItem:= LV_contatos.Items.Add;
ListItem.Caption:=(dm_contatos.tab_telefonescodigo.AsString);
ListItem.SubItems.Add(dm_contatos.tab_telefonesnome.value);
ListItem.SubItems.Add(dm_contatos.tab_telefonesfixo.value);
ListItem.SubItems.Add(dm_contatos.tab_telefonescelular.AsString);
dm_contatos.tab_telefones.next;
end

(* SE QUISER DEPOIS... *)
dm_contatos.tab_telefones.INDEXFIELDNAMES:= ´´;
end;