Como rodar meu site hospedado e todo seu conteúdo em localhost apenas para teste e atualização?

Eu tenho um site que está hospedado numa destas empresas de hospedagem. Frequentemente eu preciso alterá-lo e atualizá-lo. Qual a melhor forma de se fazer isso? Fazer isso diretamente da hospedagem é muito arriscado, porque é teste de novos conteúdos, alterações de conteúdos etc. Tenho feito assim: Eu copio o conteúdo do site e rodo em meu pc por Localhost via Wampserver. A primeira pasta funciona bem, só que ao rodar os conteúdos de outras pastas, o sistema sai do localhost e roda o conteúdo que está na hospedagem. Como fazer com ele rode 100% (ou seja todo o seu conteúdo) em Localhost? Assim, estando tudo certo com novos conteúdos e atualizações, aí sim o retorno à hospedagem de forma atualizada.