Index é considerado padrão?

Pelo que entendi, você quer saber se nomear o arquivo principal de um site como "index" é um padrão, certo?
Sim, alguns servidores procuram primeiramente por um arquivo com esse nome (index.html ou index.php) para abrir quando o site é requisitado.
Mas de certa forma isso tornou-se uma "convenção". Costuma-se chamar o arquivo principal de index ou home, por exemplo, pois o nome deixa claro que é o arquivo incial.

Se alguns servidores procuram por esses arquivos com esses novos, é como se fosse obrigado, eu não posso mudar?

Se o servidor WEB for em um serviço Cloud e for você quem estiver administrando basta apenas configurar o apache para procurar outro padrão de nome, mas não aconselho a mudar essas coisas.

Então é melhor não mexer nisso, queria apenas ter certeza mesmo se realmente era um padrão e se era obrigatorio, valeu pessoal.