Mostrar que o e-mail foi enviado, sem refresh e sem caixa de dialogo.

<form id="contato" method="post" action="email.php">
                        <ul>
                            <li class="first">
                                <a id="icone_nome" class="icones_contato"></a>
                                <input type="text" name="nome" class="text" placeholder="Nome" required>
                                <div class="clear"></div>
                            </li>
                            <li class="first">
                                <a id="icone_email" class="icones_contato"></a>
                                <input type="email" name="email" class="text" placeholder="nome@email.com" required>
                                <div class="clear"></div>
                            </li>
                            <li class="first">
                                <a id="icone_telefone" class="icones_contato"></a>
                                <input type="tel" name="telefone" class="text" placeholder="45 9999-9999" required pattern="^\d\d\d$">
                                <div class="clear"></div>
                            </li>
                            <li class="second">
                                <a id="icone_mensagem" class="icones_contato"></a>
                                <textarea placeholder="Mensagem" name="mensagem" id="caixa_mensagem" required></textarea>
                                <div class="clear"></div>
                            </li>
                        </ul>
                            <input type="submit" value="Enviar" id="botao_enviar">
                        	<div class="clear"></div>
                            
                            <div id="resultado">
                			</div>
            	</form>

<script type="text/javascript">
	jQuery(document).ready(function(){
		jQuery('#contato').submit(function(){
			var dados = jQuery( this ).serialize();

			jQuery.ajax({
				type: "POST",
				url: "email.php",
				data: dados,
				success: function( data )
				{
					alert( data );
				}
			});
			
			return false;
		});
	});
	</script>

  <?php
  $para = "contato@volcanodigital.com.br";
  $assunto = "Contato pelo Site";
  $nome = $_POST['nome'];
  $email = $_POST['email'];
  $tel = $_POST['telefone'];
  $mensagem = $_POST['mensagem'];
  		
	  $corpo = "<strong> Mensagem de Contato </strong><br><br>".$nome;
	  $corpo .= "<br><strong>Nome:  </strong>".$nome;
	  $corpo .= "<br><strong>Email:  </strong>".$email;
	  $corpo .= "<br><strong>Tel:  </strong>".$tel;
	  $corpo .= "<br><strong>Mensagem: </strong>".$mensagem;

	  $headers = "Content-Type:text/html; charset=UTF-8/n";
	  $headers .= "From: $email Reply-to: $email/n";
	  
	
	$enviaremail = mail($para, $assunto, $corpo, $headers);
	
	if($enviaremail){
    echo "E-MAIL ENVIADO COM SUCESSO! <br> Em breve responderemos no e-mail enviado";
    } else {
    $mgm = "ERRO AO ENVIAR E-MAIL!";
    echo "";
	}
	?>