Como acontece a sincronização de dados entre um Website e um App?

Você cria uma api REST e faz com que o site e o app faça requisições HTTP a essa api, que retornará os dados em formato JSON, você extrai os dados que precisa do JSON e usa, agora vou explicar um pouco cada termo desses e depois você estuda mais a fundo, mas se prepara que o texto vai ser grande:

JSON:

JSON é um formato de arquivo(.json) e é usado na transferência de dados e é universal(não depende de plataforma), é uma sigla que significa JavaScript Object Notation, como você deve imaginar esse formato retorna um objeto JavaScript, mas não é necessário se trabalhar com a linguagem JavaScript para poder trabalhar com JSON, se dermos um console log num objeto javascript com nome = "fulano", idade = 30, pets = ["cao", "gato", "coelho"] o resultado seria esse aqui:


sendo os métodos do objeto omitidos, o formato JSON é exatamente assim, se tiver mais curiosidade pesquise JSON no google images, mas o fato é que tiramos as informações necessárias daí.

api:

Quando você começou em desenvolvimento web provavelmente estudou front end e seu professor te mandou fazer um site apenas com o front-end(HTML, CSS Javascript), ou seja, sem back-end, a api é o contrário, é um site sem front-end, ou melhor dizendo, é um site que te mostra um JSON ao invés de um html, olhe um exemplo de api aqui:

https://www.mercadobitcoin.net/api/BTC/orderbook/

em outras palavras, é o backend da sua aplicação, dessa forma você cria vários front-ends em várias plataformas diferentes e faz esses front-ends pegarem os dados do JSON da sua api, esse "pegar" dados é chamado de consumir, ou seja, você cria um front-end de um website, e de um app de celular, e ambos consomem sua api, se você conhece alguma tecnologia backend pode usá-la pra criar uma api, exemplo:

Rails do ruby
Node.js do Javascript
.NET do c#
laravel do php
spring do java
django do python

requisição HTTP:

Você deve ter dúvidas em relação à segurança disso de deixar os dados abertos assim na internet, e também de como se comunicar com a api mas não precisa se preocupar com isso, pois existe o que chamamos de HTTP request, que nada mais é do que o formulário da api, já que não temos front-end, não temos forms para nos logar/registrar, então as requisições HTTP fazem isso, você diz o que está enviando e o valor do que está enviando e a api averigua, e caso não tenha nada de errado a api te retorna outro JSON que a principio não estava visivel, por exemplo, num form de login você envia um e-mail e senha, e caso tenha algo de errado dá um erro, caso contrário você ganha acesso às informações da sua conta, na requisição HTTP é a mesma coisa, você declara que está enviando um e-mail, o valor(string) email, declara que está enviando uma senha, o valor(string) senha e envia, caso dê algum erro você receberá uma resposta(em formato JSON) informando do erro, caso contrário você recebe uma resposta(em formato JSON) com os dados da sua conta, vale frizar que o JSON com seus dados não está por ai na web em algum lugar ou armazenado, ele é gerado no momento da requisição apenas, utilizando seus dados no banco de dados da api e sendo enviada na forma de resposta.

REST:

Esse não é um conceito muito extenso, basta saber que existem diferentes verbos HTTP, e que api's RESTful(api's que implementam o conceito REST) utilizam quatro verbos HTTP para realizar as operações de um CRUD, aqui estão eles:

POST(Create)
GET(Read)
PUT(Update)
DELETE(Delete)

Há também alguns que separam atualização total de dados(PUT) de atualização parcial dos dados(PATCH), mas é mais raro achar sistemas com essa implementação.