Para termos o melhor desempenho possível, essa classe é desenvolvida para cada banco.

Deriva da classe DbConnection (namespace System.Data.Common) e da interface ICloneable (namespace System).

Algumas classes Connection são:

• SqlConnection (namespace System.Data.SqlClient) - para conexão ao Microsoft SQL Server;
• OleDbConnection (namespace System.Data.OleDb) - para conexão a qualquer banco de dados que suporte o padrão OleDB, como Microsoft Sql Server 7.0, Microsoft Access;
• OracleConnection (namespace System.Data.OracleClient) - para conexão ao Oracle.

Devemos importar o namespace adequado para usar a classe SqlConnection (os exemplos desse post serão todos baseados no Microsoft SQL Server 2005 Express Edition - a versão grátis):

Visual Basic

Imports System.Data.SqlClient

C#
using System.Data.SqlClient;

A sintaxe da classe SqlConnection é:
Visual Basic
Public NotInheritable Class SqlConnection _
  Inherits DbConnection _
  Implements ICloneable

C#
public sealed class SqlConnection : DbConnection, ICloneable

Os principais membros da classe SqlConnection são:

Propriedades: 

ConnectionString - String que possui os dados do SGBD, como nome do servidor, instância, banco, usuário, senha  e tipo de autenticação, dentre outros; 
DataSource - Retorna o nome da instância do SQL Server; 
Database - Retorna o nome do banco de dados; 
ServerVersion - Retorna a versão do banco de dados; 
State - Retorna o estado da conexão; 
WorkstationId - Retorna o nome do computador que está acessando o banco. 
Métodos: 

Open - Abre a conexão entre o programa e o banco de dados; 
Close - Fecha a conexão; 
ChangeDatabase - Altera o banco de dados atual para uma conexão aberta; 
CreateCommand - Retorna um objeto SqlCommand associado à conexão corrente. 
Os construtores da classe SqlConnection são:

SqlConnection() - Cria uma instância (objeto) da classe; 
SqlConnection(String) - Cria uma instância da classe, configurada de acordo com a string de conexão passada como argumento. 

Como criar uma conexão (a): 

Visual Basic
Dim objConnection as SqlConnection
objConnection = new SqlConnection()

C#
SqlConnection objConnection = new SqlConnection();

O valor 15 segundos é atribuído para a propriedade ConnectionTimeout e “” para as propriedades ConnectionString, DataSource e Database.

Como criar uma conexão (b): 

Visual Basic
Dim strCon as String
strCon = "Data Source=NOTEBOOK\SQLEXPRESS;Initial Catalog=MASTER;" & _
  "Integrated Security=True;Connect Timeout=2" 

Dim objConnection as SqlConnection
objConnection = new SqlConnection(strCon)

C#
String strCon = Dim strCon as String
strCon = @"Data Source=NOTEBOOK\SQLEXPRESS;Initial Catalog=MASTER;" +
  "Integrated Security=True;Connect Timeout=2"; 

SqlConnection objConnection = new SqlConnection(strCon);


Como abrir, ver o estado e fechar uma conexão: 

Visual Basic
...
Dim estado as String
estado = objConnection.State.ToString() ''estado da conexão antes de abrí-la
objConnection.Open() ''abre a conexão
estado = objConnection.State.ToString() ''estado da conexão após abrí-la
objConnection.Close() ''fecha a conexão

C#
...
String estado = objConnection.State.ToString(); //estado da conexão antes de abrí-la
objConnection.Open(); //abre a conexão
estado = objConnection.State.ToString(); //estado da conexão após abrí-la
objConnection.Close(); //fecha a conexão



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